二阶导数

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二阶导数,是原函数导数的导数,将原函数进行二次求导。一般的,函数y=f(x)的导数yˊ=fˊ(x)仍然是x的函数,则y′′=f′′(x)的导数叫做函数y=f(x)的二阶导数。在图形上,它主要表现函数的凹凸性。 [1] 
中文名
二阶导数
外文名
the second derivative test
含    义
原函数导数的导数
几何意义1
切线斜率变化的速度
几何意义2
函数的凹凸性
标记方式
y''=d^2y/dx^2即y=(y)
应    用
判断函数凹凸等
应用科学
数学

二阶导数代数记法

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二阶导数记作
即y''=(y')'。 [1] 
例如:y=x²的导数为y'=2x,二阶导数即y'=2x的导数为y''=2。

二阶导数几何意义

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(1)切线斜率变化的速度,表示的是一阶导数的变化率。
(2)函数的凹凸性(例如加速度的方向总是指向轨迹曲线凹的一侧)。 [1] 
这里以物理学中的瞬时加速度为例:
根据定义有
可如果加速度并不是恒定的,某点的加速度表达式就为:
a=limΔt→0 Δv/Δt=dv/dt(即速度对时间的一阶导数)
又因为v=dx/dt 所以就有:
a=dv/dt=d²x/dt² 即元位移对时间的二阶导数
将这种思想应用到函数中 即是数学所谓的二阶导数
f'(x)=dy/dx (f(x)的一阶导数)
f''(x)=d²y/dx²=d(dy/dx)/dx (f(x)的二阶导数)

二阶导数对于反函数

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,则
,应视为y的函数 [1] 
=
(定义)
=
=
(复合函数求导,x是中间变量)
=
=
所以,反函数的二阶导数不是原函数二阶导数的倒数。

二阶导数性质

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(1)如果一个函数f(x)在某个区间I上有f''(x)(即二阶导数)>0恒成立,那么对于区间I上的任意x,y,总有:
f(x)+f(y)≥2f[(x+y)/2],如果总有f''(x)<0成立,那么上式的不等号反向。 [2] 
几何的直观解释:如果一个函数f(x)在某个区间I上有f''(x)(即二阶导数)>0恒成立,那么在区间I上f(x)的图象上的任意两点连出的一条线段,这两点之间的函数图象都在该线段的下方,反之在该线段的上方。
(2)判断函数极大值以及极小值。
结合一阶、二阶导数可以求函数的极值。当一阶导数等于0,而二阶导数大于0时,为极小值点。当一阶导数等于0,而二阶导数小于0时,为极大值点;当一阶导数和二阶导数都等于0时,为驻点。
(3)函数凹凸性。
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有一阶和二阶导数,那么,
(1)若在(a,b)内f''(x)>0,则f(x)在[a,b]上的图形是的;
(2)若在(a,b)内f’‘(x)<0,则f(x)在[a,b]上的图形是的。
参考资料
  • 1.    高等数学 第六版 上册 同济大学出版社
  • 2.    王汉蓉等.微积分:华中科技大学,2009
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